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blog - t. conjuntos - I - 2004
miércoles, mayo 05, 2004
 

Clase FINAL, antes de sus exposiciones-examen


Hoy hubo bastantes cosas - tal vez lo principal a destacar es el uso del "lema de aproximación para forcings ccc", y su demostración. También el uso de LV y LD (que dejamos sin demostrar - es la ausencia más notoria del curso) en la prueba de ese lema, y de


M[G] modela AC y Comprensión.


Preguntaron (Felipe) si se puede forzar que 2ω sea igual a ωω... pero esto es imposible, pues König es un teorema de ZFC, y todo modelo genérico satisface ZFC. Ahora bien, usando nice names (no hay traducción estándar en español ... ), uno puede ver que (por ejemplo) el forcing de Cohen Fn(ω7,2) no solo agrega por lo menos ω7 reales, sino que si G es genérico para Fn(ω7,2) sobre M, tenemos


M[G] modela 2ω = ω7


pero esta igualdad claramente no puede tenerse si forzamos (por ejemplo) con Fn(ωω,2)... de hecho se tiene


M[G] modela 2ω = ωω+1


Finalmente, vimos ejemplos de cómo algunas propiedades de cardinales se preservan bajo forcings ccc... vale la pena destacar la preservación de inaccesibilidad débil (no fuerte!) bajo forcings ccc, con la cual es consistente (como siempre, módulo la consistencia de ZF) la consistencia de


"existe un cardinal débilmente inaccesible κ, con κ≤c".


Si quiere ir más allá en construcciones de reales "nuevos", vale la pena revisar Kunen, Jech, o el artículo de Kunen en el Handbook of Set Theoretic Topology... en particular exploran qué propiedades (fuera del cambio del tamaño del continuo) matemáticas se fuerzan. Es el inicio del estudio profundo de la interacción entre medida, categoría, y modelos de teoría de conjuntos.

Autores más recientes en el tema incluyen (no estoy siendo exhaustivo) a Bartoszynski, Judah, Shelah, Roslanowski y Todorcevic.
 


SALÓN en Uniandes



Verónica nos consiguió el salón Z-209 para la clase de hoy.
jueves, abril 29, 2004
 

Una tesis de pregrado que les puede interesar


El próximo lunes, a las 2 de la tarde, en el 202 de Matemáticas, un estudiante mío (Rafael Benjumea) defenderá su tesis de pregrado. El tema es la teoría pcf y cuatro aplicaciones. Creo que a algunos de ustedes les puede interesar. Es justo antes de nuestra próxima clase.
martes, abril 27, 2004
 

Examen Final - Notas de clase



El examen final será una combinación de parte oral y parte escrita. Colgué en el sitio usual tanto la tarea 5 (que es la base del examen final) como notas de clase detalladas de los últimos temas, bajo "Notas 6".

De la tarea hay que entregar bien escritos tres problemas. Adicionalmente, el 10 y el 12 de mayo, usted deberá pasar al tablero y exponer un trozo de algún problema de la tarea/examen final.

Planeo atender preguntas en sesión especial el jueves 6 de mayo, en mi oficina, de 9 am a 12 m.
lunes, abril 26, 2004
 
Hoy:


jueves, abril 22, 2004
 

Δ-combinatoria y extensiones de forcing


Estos últimos días vimos más aplicaciones de Δ-combinatoria (a espacios topológicos ccc), y empezamos a ver nuestras primeras extensiones de forcing.

Ojo: aún no tenemos la definición "oficial" de V[G]... pero ya sabemos cómo hacer combinatoria con el orden parcial P para hacer que el filtro genérico G tenga propiedades adecuadas.

Agregar reales (I): hay miles de maneras. Hay reales de Cohen, aleatorios, de Sacks, etc. Nuestros primeros reales agregados son los de Cohen.

El forcing de Cohen, dado por el orden parcial

Pκcohen = Fn(κ,2) = func. parc. finitas de κ en 2


agrega por lo menos κ reales: si G es Pκcohen-genérico sobre M (el modelo base), entonces intersecta a todos los densos siguientes (¡todos elementos de M!):

Di = {p∈Pκcohen | i∈dom(p)} (i<κ)
Eαβ = {p∈Pκcohen | ∃ n (p(ω.α + n) ≠ p(ω.β + n))}, α < β < κ


y por lo tanto UG resulta ser una función de κ en 2, que codifica κ reales distintos rα así:

rα : ω → 2
rα(n) := UG(ω.α + n)


(los Di se encargan de hacer que el dominio de UG sea todo κ; los Eαβ se engargan de garantizar que si α≠β se tenga que rα y rβ sean efectivamente reales distintos).

ojo: lo anterior está muy bien, ¡¡¡siempre y cuando no haya colapso de cardinales!!! En efecto, si el κ de M colapsara en M[G] a (digamos) ω1, no habríamos realmente agregado "muchos" reales.

Por esto es tan importante demostrar (después) el teorema siguiente:

Teorema Si (P es ccc)M, entonces dado G un filtro P-genérico sobre M, tenemos que M y M[G] tienen los mismos cardinales.

Note que ser ccc en M, si M es pequeño, es en general mucho más difícil que ser ccc a secas: si M es contable, todo orden es ccc en el universo, pero por ejemplo [Fn(ω,ω1)]M no es ccc en M (y de hecho colapsa el cardinal ω1).
miércoles, abril 14, 2004
 

La sugerencia de Camilo Argoty


En vez de dar la vuelta por la separabilidad de L1(R), Camilo Argoty sugería usar directamente un argumento basado en la propiedad de Lindelöf, para ver que el orden de la amiba es ccc. En efecto, sugería Camilo, si {pi | i<ω1} es una anticadena, entonces su unión queda recubierta por tan solo contables de los pi... pero entonces ningún otro pi podría ser incompatible con los demás, pues ya quedó llena la unión.

Muy buen argumento, salvo que hay que argumentar que la unión

Ui<&omega1 pi

también es de Lindelöf. Esto no es trivial: en general un subespacio de un compacto no es compacto. Ahora, los reales sí son hereditariamente de Lindelöf. Pero la prueba de esto requiere un argumento de separabilidad (de nuevo).

Aunque en últimas no se puede esquivar el argumento "pesado" con separabilidad, como los hechos en clase, me parece elegante la observación de Camilo.
 



 

Los dos ejemplos


El axioma de Martin MA(κ) aplicado al orden de la amiba, Qεa, nos permite demostrar que una unión de κ nulos Ni (i<κ) es nula. Fije ε>0. Considere el orden


Qεa = {U⊂R | U abierto, μ(U)<ε}, ⊃


y los (densos, por el argumento de la amiba)

Di= { p∈Qεa|Ni⊂p}


Por MA(κ) (pero esto requiere ver que Qεa es ccc, lo cual no es trivial - el argumento más elegante invoca la separabilidad de L1(R), pero requiere detalles), se tiene que existe un prefiltro G, que intersecta todos los densos Di... y terminamos probando que la unión de los Ni, que está contenida en UG, tiene medida acotada por la de UG, que es menor o igual a ε (usando que R es de Lindelöf)... y como ε era arbitrario, la unión de los Ni debe ser de medida cero.

El otro ejemplo es Fn(I,J)... funciones parciales finitas de I en J. Es ccc ssi J es contable (por el argumento del sistema delta).

Para pensar: demuestre o refute


c →Δ (c)ω

martes, abril 13, 2004
 




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