hoy...

• de nuevo Comprensión - más detalles (el lema fuerte)
  
• cuáles V_α, cuáles H(κ) satisfacen Pares y Uniones
  
• el caso de Partes: casi nunca vale en los H(κ), vale en todos los V_α con α límite
  
• el caso de Reemplazo - el lema fuerte (y discusión), y por qué es difícil que valga en casi todos los V_α (aunque valga en todos los H(κ) con κ límite)
  
• el inicio de la definición de L - discusión sobre definibilidad.
  

- posted by av @ 6:21 p.m.

 
los temas que vimos hoy...

• (Fuertemente) inaccesibles (límites fuertes Y regulares)
  
• (en dibujo, pero con detalles para llenar después en clase) ZF no deduce la existencia de fuertemente inaccesibles
  - dos pruebas, una usando Gödel, la otra mirando el primer f. inacc (si existe) κ, y observando que
  
  
  
  • V_κ es modelo de ZF (faltan detalles, pero intuitivamente, como κ es "tan grande" hay cupo para todo, incluidos Partes y Reemplazo)
    
  • En V_κ no hay fuertemente inaccesibles: como κ era el mínimo de estos, por debajo no hay (falta ver por qué la noción transfiere bien - i. e. es "absoluta" para V y V_κ)
    
  
  
• generalidades sobre la jerarquía de grandes cardinales (el dibujo)
  
• Si M es transitivo, entonces satisface Extensionalidad
  
• Si M subclase de WF, entonces satisface Fundamentación
  
• Si dado a en M, y dado b subconjunto de a, a pertenece a M, entonces M satisface Comprensión. Ojo: aquí hubo toda una discusión de por qué lo anterior es "demasiado fuerte" (aunque útil), de cómo Comprensión es un esquema y no solo un axioma, de conjuntos definibles. Esas ideas son platos fuertes - volveremos a ellas, sobre todo a Definibilidad, más adelante.
  

La tarea dos queda para el primero de marzo.
- posted by av @ 4:34 p.m.

 
Novedad: reuní preguntas hechas en exámenes de teoría de conjuntos básica (similar a "Mat. Estructural" en los Andes en dificultad y lugar en el pensum, salvo unas cuantas preguntas al final). Incluyen algunos de los temas que deben ser afianzados. Están en este archivo.

Si tiene dudas, son bienvenidas las preguntas!
- posted by av @ 5:16 p.m.

 
Hoy:

• Varios anuncios:
  
  
  
  • Clases "extras" viernes por la tarde (3:30 ?) para fijar temas básicos. Hablar con Carlos Montenegro para detalles de salón.
    
  • Seminario Miércoles cada 2 semanas a partir de febrero 25, 2:15 pm, con Luis Jaime Corredor, en los Andes. Autocontenido (hay que saber teoría de modelos). Basado en el artículo reciente de Olivier Lessmann, Tapani Hyttinen y Saharon Shelah (The Group Configuration in Homogeneous Nonelementary Classes).
    
  • Seminario Miércoles cada 2 semanas a partir de marzo 3, 2:15 pm, en la Universidad Nacional. "Fusiones de Hrushovski". Esos días usualmente tendré el carro, y con gusto puedo llevar a tres o cuatro estudiantes a los Andes de subida a la clase de conjuntos. Los dos seminarios son "extra", si quiere participar, es bienvenido/a, pero hable conmigo.
    
  
  
• Discutimos generalidades del problema 5 de la tarea. No entré en detalles sobre por qué valen los axiomas. Si tiene dudas, pregunte!
  
• Carlos expuso gran parte de modelos de permutación con
  
  
  
  • átomos A
    
  • un subgrupo G de A!
    
  • un filtro de subgrupos de G (normal, es decir cerrado bajo conjugación, y no trivial), _F_
    
  • la idea crucial: de V_A (construido como jerarquía de la manera usual), sólo "quedan" los conjuntos que "no notan" permutaciones de "sus átomos" - es decir, x está en _M_ ssi, hereditariamente, los "grupo simétricos" Sym(y) quedan en _F_ (intuitivamente, "son grandes").
    
  
  
• Carlos mencionó (sin demostración) que estos modelos satisfacen ZFA... y armó un argumento para mostrar que no hay conjuntos amorfos. También hubo toda una discusión sobre el rol de los conjuntos "con soporte finito".
  

- posted by av @ 4:39 p.m.

 
Hoy:

• H(kappa) subconjunto de V_kappa
  
• HF = V_omega
  
• H(kappa) = V_kappa SSI kappa es punto fijo de la función beth (excepto cuando kappa = omega)
  
• Algunos modelos pequeños de trozos de ZF: en V_omega vale ZF -Inf, en V_omega+omega vale ZF-Reemplazo, en H(omega_1) vale todo ZF menos Ax. Partes.
  
• Paradoja de Skolem
  
• Más acerca de Reemplazo
  

Este próximo miércoles Carlos hablará sobre modelos de permutación. También quiero aclarar algunos detalles del problema 5.

La tarea queda para el lunes 1 de marzo.
- posted by av @ 6:37 p.m.

 
Vimos hoy:

• trozo del problema 3 de la tarea (ver abajo)
  
• aclaración discontinuidades de la función "continuo"
  
• los H(kappa), HF, HC
  
• HF = V_omega --- HC es subconjunto propio de V_omega_1
  
• (incompleto!) H(kappa) subconjunto propio de V_kappa si kappa es regular
  

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No sé por qué queda cortado el comentario (de pronto es mejor partir comentarios largos en dos). En todo caso, ahí va respuesta a la desigualdad no trivial.

pruebe primero que k^[cf k] = 2^k.
En efecto, use k=sum_[i< cf k] beta_i, para ver
2^k = 2^[sum_[i< cf k] beta_i] = prod_[i< cf k] 2^[beta_i] <= prod_[i< cf k] k = k^[cf k] <= k^k =2^k.

Ahora observe que k^[< k] <= 2^k... luego se tiene k^[< k] <= k^[cf k]

Esto será discutido en clase hoy miércoles 11 feb.

AV
- posted by av @ 11:52 a.m.

 
CHARLA - Andrés Caicedo - G104 Uniandes, Jueves 12 - 4 pm: Grandes Cardinales y la teoría de primer orden de los reales. Super recomendada!

Una pregunta de uno de ustedes: sabemos que

1. La función beth tiene puntos fijos arbitrariamente altos.
2. El teorema de Cantor dice que kappa < 2^kappa, para todo cardinal kappa.

No se contradicen las dos afirmaciones anteriores?
- posted by av @ 4:09 a.m.

 
hoy la idea es hablar algo de la lógica de modelos de teoría de conjuntos
recursión transfinita - ¿qué modelan los V_alpha?
más sobre ordinales y cardinales

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OJO: vimos realmente

Relaciones bien fundamentadas "conjuntosas" (set-like) en clases.
Teorema de recursión en clases para relaciones set-like.
Algunos ejemplos adicionales clases propias vs. conjuntos.

Ya está colgada la tarea DOS (para el 25 de febrero).

AV
- posted by av @ 7:02 a.m.

 
Hola! Este es el blog de teoría de conjuntos correspondiente al semestre I-2004. Puede hacer comentarios, preguntas, etc.

Hoy vimos:

• jerarquía de von Neumann (propiedades básicas)
  
• lema de König - demostrado (falta ver por qué implica que $2^{\aleph_0}$ no puede ser $\aleph_\omega$)
  
• no continuidad de 2^kappa discutida
  
• límites fuertes (los beths)
  
• algo de ideas para ejercicio 1 - en la página del curso hay más material sobre magros y nulos, para el ejercicio 1.
  
• Puede hacer preguntas aquí abajo (en "comments").
  

AV
- posted by av @ 8:19 p.m.