blog - t. conjuntos - I - 2004
miércoles, marzo 31, 2004
Hoy tal vez no hayamos avanzado tanto como esperaba, pero creo que la discusión sobre clubs, el filtro de clubs, y los problemas de la tarea valía la pena. Por otro lado, empezamos tan solo los primeros esbozos de Axioma de Martin y aplicaciones. ¡No llegamos a hablar realmente del orden de la ameba, que era el tema al cual quería llegar!
Si tienen dudas con los problemas, recuerden que pueden preguntar, usando los comentarios del blog, o directamente enviando un email. Con mucho gusto daré explicaciones a las preguntas que hagan.
martes, marzo 30, 2004
Después de la vuelta por absoluticidad (no completa, hay que llenar algunos detalles) logramos terminar la prueba de GCH bajo V=L. Eso nos deja en posición de arranque para dejar la dieta impuesta por V=L y comenzar a rellenar el universo - empezaremos por el Axioma de Martin, y la pregunta clásica sobre cuáles propiedades "buenas" de los reales se pueden tener en ausencia de CH... y llegaremos después a forcing. El miércoles empezamos esos temas. Analizaremos esencialmente tres forcings (en las clases que vienen): el forcing "de la ameba" (amoeba forcing), el forcing aleatorio (random forcing) y el forcing de Cohen. En ejercicios veremos otros.
jueves, marzo 25, 2004
Absoluticidad - Colapso de Mostowski - ZF + V=L deduce AC + GCH
OJO: colgué la tarea 4 en la página del curso. Es para el 14 de abril.
Para nosotros (¡tal vez más que para los fabricantes del vodka sueco!) absoluticidad y reflexión están íntimamente relacionadas, en la prueba de
Con(ZF) → Con(ZF + AC + GCH)
Ayer armamos (de nuevo) el mapa de la prueba de ZF + V=L implica CH... y demostramos el colapso de Mostowski, que completa la descripción informal
Buen orden/Ordinal = (Bien fund. + Ext)/Transitivo
(en efecto, todo buen orden es isomorfo, de manera única, a un único ordinal α... todo conjunto dotado de una relación bien fundamentada y extensional es isomorfo, de manera única, a un único conjunto transitivo A)
También empezamos los lemas de absoluticidad. Engorrosos, pero muy útiles. En particular, el objetivo por ahora es ver que
L es absoluto en modelos transitivos de ZF - Partes
y naturalmente, los prerequisitos: absoluticidad de D, de la def. de verdad, de la buena fundamentación, de ω, de HF, ..., de Δ_0.
lunes, marzo 22, 2004
miércoles, marzo 17, 2004
no olvidar buscar (en Munkres, o en Lima) la demostración del Teorema de Categoría de Baire (para después)
hoy hicimos básicamente dos cosas en clase:
- por un lado, la aclaración del comentario incompleto del lunes (¿cómo entender algo como
Con(ZF-AF) implica Con(ZF), o
Con(ZF) implica Con(ZF + V=L)
... dado que no podemos definir "WF satisface" o "L satisface"?
La clave está en lo siguiente:- NO defina "WF satisface" o "L satisface"
- defina φ_WF o φ_L (las "relativizaciones")
- demuestre que dada φ en ZF, ZF-AF deduce φ_WF ... y que dada φ en ZF + V=L, ZF deduce φ_L
- demuestre (por inducción en la complejidad de las deducciones) que existe un "algoritmo" para transformar
ZF-deducciones de φ en (ZF-AF)-deducciones de φ_WF, y
(ZF + V=L)-deducciones de φ en ZF-deducciones de φ_L - y finalmente observe que lo anterior permite transformar una contradicción que proviniera de ZF en otra contradicción a partir de ZF-AF ... o una contradicción que proviniera de ZF + V=L en otra contradicción a partir de ZF.
- NO defina "WF satisface" o "L satisface"
- también dimos más detalles del "dibujo" de la demostración de CH en L. El dibujo, y los detalles, aparecen cuidadosamente escritos en pp. 47 y 48 de las notas. Aún falta por ver: demostración del Teorema del Colapso de Mostowski, absoluticidad, y Condensación (i.e. "todo modelo transitivo de ZF - Partes + V=L debe ser un L(α)") para completar la prueba.
martes, marzo 16, 2004
jueves, marzo 11, 2004
ayer... principalmente las pruebas de Tarski-Vaught y LS (descendente), en el caso usual. Algo sobre la versión jerarquía, pero no la demostración - la idea es imitar la prueba de ayer (clausurar X bajo Sk, iterando el agregar testigos para existenciales). Punto interesante: AC no es necesario en el caso jerarquía. También hicimos recontextualización de Comprensión.
Y algo de grandes cardinales:
hiperhiperhiper...inaccesibles
débilmente compactos ... Carlos dió dos definiciones:
- κ es dc ssi es mayor que ω y tiene la propiedad del árbol (i.e. todo κ-árbol con todos sus niveles de tamaño menor que κ debe tener una rama de longitud κ)... o bien
- κ es dc ssi es mayor que ω y satisface algo análogo al teorema de Ramsey (i.e. dado un grafo R sobre κ, o bien existe un subgrafo pleno de tamaño κ o bien existe un conjunto R-independiente de tamaño κ.
Es sorprendente que esas dos propiedades sean equivalentes ... y que sean equivalentes a tantas otras cosas. Finalmente, Carlos empezó la demostración de "κ dc implica κ es f. inaccesible".
lunes, marzo 08, 2004
hoy: no avanzamos tanto, hubo muchas preguntas, pero estuvo bien.
El tema central: terminamos de mirar el orden <_L, observamos (sin demostración) que cada una de sus restricciones es definible en L y que funciona "piso por piso" en la jerarquía L. Luego observamos que pares, partes, uniones, no son difíciles de revisar en sus versiones "laxas". Por ejemplo, dado a en L, si queremos "coleccionar" todas las L-partes de a en algún b que esté en L, basta calcular (por Reemplazo en V)
γ = sup {ρ(c) +1 | c ε a }
y observar que b = V_γ sirve para el axioma.
Entonces el trabajo duro queda relegado a demostrar Comprensión en L.
Y ahí dependemos de poder traducir verdad en L a verdad en niveles L_α. De ahí la necesidad de tener teoremas estilo Löwenheim-Skolem... pero también para las jerarquías.
Finalmente, Juan Diego empezó a demostrar el test de Tarski-Vaught: M es subestructura elemental de N ssi M es subestructura de N y dada cualquier fórmula φ(x,y) y cualquier b en M,
si existe a en N tal que N satisface φ(a,b) entonces existe a' en M tal que N satisface φ(a',b)
Observe dos cosas:
- el criterio solo menciona satisfacción en N... no en M!
- el criterio nos permite "armar M" como una "clausura" (bajo testigos de existenciales)
Lo anterior es útil en la siguiente situación: uno tiene N, y quiere armar M que sea subestructura elemental. Puede arrancar con algo fijo, y "clausurar" para testigos de existenciales, y solo tiene que revisar satisfacción en el modelo original!
Preguntas: entre otras, es importante que decir que "γ es el γ-simo que tiene la propiedad P" quiere decir que γ es regular y por debajo de γ los α que cumplen la propiedad P son no acotados.
Por último, me pareció importante aclarar que AC es de hecho usado en la demostración de "unión contable de contables es contable"... aunque no parezca a primera vista!
miércoles, marzo 03, 2004
hoy fue denso el material... por un lado demostramos los "lemas básicos" sobre L, y en particular hallamos fórmulas que definen L(α) en L(α), un b de L(α) en L(α+1) y el más difícil, por qué α pertenece a L(α+1). También observamos que cada nivel L(α) resulta transitivo.
Después empezamos a mirar la estrategia de la demostración de Gödel.
Con(ZF) implica Con(ZF+AC+GCH)
La dividimos en las dos etapas que miraremos en las clases siguientes.
1. Con(ZF) implica Con(ZF + V=L), y
2. ZF+ V=L deduce ZF+AC+GCH.
La primera etapa requiere lógica, pues nos es necesario demostrar que si tenemos un modelo de ZF (V), podemos armar dentro de este un modelo de ZF + V=L. El candidato obvio es L (i.e. "el L de ese V"). Pero falta verificar que L sí satisface todos los axiomas de ZF y por qué satisface V=L. Aunque esto último parece trivial, no lo es!!! En últimas, como no podemos "saber" qué es verdadero en L, nos toca aproximar la verdad en L mediante los niveles. Justo ahí entrarán los teoremas de Löwenheim-Skolem y Reflexión.
La segunda etapa es una prueba "más directa", aunque bellísima en el caso de GCH. Empezamos al final de la clase a armar buenos órdenes en los D(A)... basados en un buen orden de A. Eso nos da las bases para armar el buen orden. Falta ver que ese buen orden es definible en L.
Ojo: colgué en la página algunas respuestas a la Tarea 2.
lunes, marzo 01, 2004
hoy discutimos detalles de la segunda tarea... ojo, ¡¡¡no quiero aplazar la tercera tarea!!! si tienen preguntas, háganlas muy pronto, pues no me parece bien aplazar sistemáticamente.
Fuera de lo anterior, básicamente
- Discutimos el caso de AC en los H(κ) y los V_α, y vimos por qué vale en los V_α si vale AC en el "universo ambiente", y por qué vale gratis en los H(κ).
- Enunciamos el "gran teorema" a demostrar en varias etapas
(Gödel) Con(ZF) implica Con(ZF+AC+GCH) - Definimos (de nuevo) L... y enunciamos algunas propiedades básicas.
- El álgebra booleana D(A) contiene a los finitos y los cofinitos, y (AC) su cardinal es |A| + ω
- Los primeros niveles no dan nada nuevo: L_n = V_n, L_ω = V_ω
- Si K = Th(L_ω) = el conjunto de números de Gödel de sentencias que valen en L_ω,
entonces K pertenece a L_[ω+2] y no a L_[ω+1]
