Clase FINAL, antes de sus exposiciones-examen


Hoy hubo bastantes cosas - tal vez lo principal a destacar es el uso del "lema de aproximación para forcings ccc", y su demostración. También el uso de LV y LD (que dejamos sin demostrar - es la ausencia más notoria del curso) en la prueba de ese lema, y de


M[G] modela AC y Comprensión.


Preguntaron (Felipe) si se puede forzar que 2^ω sea igual a ω_ω... pero esto es imposible, pues König es un teorema de ZFC, y todo modelo genérico satisface ZFC. Ahora bien, usando nice names (no hay traducción estándar en español ... ), uno puede ver que (por ejemplo) el forcing de Cohen Fn(ω₇,2) no solo agrega por lo menos ω₇ reales, sino que si G es genérico para Fn(ω₇,2) sobre M, tenemos


M[G] modela 2^ω = ω₇


pero esta igualdad claramente no puede tenerse si forzamos (por ejemplo) con Fn(ω_ω,2)... de hecho se tiene


M[G] modela 2^ω = ω_ω+1


Finalmente, vimos ejemplos de cómo algunas propiedades de cardinales se preservan bajo forcings ccc... vale la pena destacar la preservación de inaccesibilidad débil (no fuerte!) bajo forcings ccc, con la cual es consistente (como siempre, módulo la consistencia de ZF) la consistencia de


"existe un cardinal débilmente inaccesible κ, con κ≤c".


Si quiere ir más allá en construcciones de reales "nuevos", vale la pena revisar Kunen, Jech, o el artículo de Kunen en el Handbook of Set Theoretic Topology... en particular exploran qué propiedades (fuera del cambio del tamaño del continuo) matemáticas se fuerzan. Es el inicio del estudio profundo de la interacción entre medida, categoría, y modelos de teoría de conjuntos.

Autores más recientes en el tema incluyen (no estoy siendo exhaustivo) a Bartoszynski, Judah, Shelah, Roslanowski y Todorcevic.
- posted by av @ 5:15 p.m.

 


SALÓN en Uniandes



Verónica nos consiguió el salón Z-209 para la clase de hoy.
- posted by av @ 9:17 a.m.